Question

10．已知向量的集合A={$\overrightarrow{m}$|$\overrightarrow{m}$=（x，y），x²+y²≤1}中的任意两个向量$\overrightarrow{{m}_{1}}$，$\overrightarrow{{m}_{2}}$与两个非负实数a，b，那么|a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|与a+b的关系为（　　）

• A． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|＞a+b
• B． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|≤a+b
• C． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|≥a+b
• D． |a$\overrightarrow{{m}_{1}}$+b$\overrightarrow{{m}_{2}}$|＜a+b

Answer 1

分析 由集合A可知，$|\overrightarrow{m}|≤1$，从而有$|\overrightarrow{{m}_{1}}|≤1，|\overrightarrow{{m}_{2}}|≤1$，这样便可得到$\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}≤1$，进行数量积的运算便可比较$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}{|}^{2}$与（a+b）²的关系，从而便可得出$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|$与a+b的关系．

解答 解：据题意知，$|\overrightarrow{{m}_{1}}|≤1，|\overrightarrow{{m}_{2}}|≤1$；
∴$\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}=|\overrightarrow{{m}_{1}}||\overrightarrow{{m}_{2}}|cos＜\overrightarrow{{m}_{1}}，\overrightarrow{{m}_{2}}＞≤1$；
∴${a}^{2}{\overrightarrow{{m}_{1}}}^{2}≤{a}^{2}，2ab\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}≤2ab$，${b}^{2}{\overrightarrow{{m}_{2}}}^{2}≤{b}^{2}$；
∴${a}^{2}{\overrightarrow{{m}_{1}}}^{2}+2ab\overrightarrow{{m}_{1}}•\overrightarrow{{m}_{2}}+{b}^{2}{\overrightarrow{{m}_{2}}}^{2}$≤a²+2ab+b²；
即$（a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}）^{2}≤（a+b）^{2}$，a，b≥0；
∴$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|≤a+b$．
故选：B．

点评 考查描述法表示集合，根据向量的坐标求向量的长度，以及向量数量积的运算及其计算公式，不等式的性质，要比较$|a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}|$与a+b的关系，而去比较$（a\overrightarrow{{m}_{1}}+b\overrightarrow{{m}_{2}}）^{2}$与（a+b）²的关系的方法．