Question

11．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；
（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的条件得到△ACD∽△AEB，再由相似三角形对应边成比例得AE•AD=AC•BC；
（Ⅱ）由切割弦定理可得CF²=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．

解答 （Ⅰ）证明：连接BE
∵AE为圆O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
又∵∠ACD=∠AEB，
∴△ACD∽△AEB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
又∵AB=BC，
∴AE•ED=AC•BC；
（Ⅱ）解：∵CF是圆O的切线，
∴CF²=AF•BF，
又AF=4，CF=6，
∴BF=9，
∴AB=BF-AF=5，
又∵∠ACF=∠FBC，∠F为公共角，
∴△AFC∽△CFB，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AC}{CB}$，
∴AC=$\frac{AF•CB}{CF}=\frac{10}{3}$．

点评 本题考查与线段有关的比例线段，考查相似三角形的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．