Question

6．已知O为坐标原点，P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，记直线OP的斜率k=f（x）．
（1）若函数f（x）在区间$（m，m+\frac{1}{2}）（m＞0）$上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）?x∈[1，+∞），使$f（x）≤\frac{t}{x+1}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得k=f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$（x＞0），求出导数，求得单调区间，可得极值点，再由0＜m＜1＜m+$\frac{1}{2}$，解不等式可得所求范围；
（2）运用参数分离可得$t≥\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，令$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}（x≥1）$，求出导数，再令h（x）=x-lnx（x≥1），求出导数，判断单调性，即可得到g（x）的单调性，可得g（x）≥g（1）=2，由t大于等于最小值即可．

解答 解：（1）由题意可得k=f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$（x＞0），
即有f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0，
可得f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值，
由函数f（x）在区间$（m，m+\frac{1}{2}）（m＞0）$上存在极值，
可得$\left\{\begin{array}{l}0＜m＜1\\ m+\frac{1}{2}＞1\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}＜m＜1$，
即实数m的取值范围是$（\frac{1}{2}，1）$；
（2）由题意$f（x）≤\frac{t}{x+1}$，得$t≥\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}$，
令$g（x）=\frac{（x+1）（1+lnx）}{x}（x≥1）$，
则$g'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}（x≥1）$，
令h（x）=x-lnx（x≥1），
则$h'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
由x≥1，可得h'（x）≥0，
故h（x）在[1，+∞）上单调递增，
则h（x）≥h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上单调递增，
则g（x）≥g（1）=2，
故实数t的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查存在性问题的解法，注意运用参数分离和构造函数，通过导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．