Question

15．已知函数f（x）=a（x-1）-21nx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=1代入，求出函数的导数，从而得到函数的单调区间；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性，求出函数的极值，从而得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，函数f（x）=x-1-2lnx，定义域是（0，+∞），
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$，
由f′（x）＞0解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（Ⅱ）（1）当a≤0时，由x∈（0，1），得x-1＜0，-2lnx＞0，
∴f（x）＞0恒成立，即a≤0符合题意；
（2）当a＞0时，f′（x）=a-$\frac{2}{x}$=$\frac{a}{x}$（x-$\frac{2}{a}$），
①当a≤2时，即$\frac{2}{a}$≥1时，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
即f（x）在区间（0，1）单调递减，故f（x）＞f（1）=0，
满足对?x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，
故此时f（x）在区间（0，1）上无零点，符合题意；
②当a＞2时，即0＜$\frac{2}{a}$＜1时，由f′（x）＞0得x＞$\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{2}{a}$，
即f（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，1）递增，
此时f（$\frac{2}{a}$）＜f（1）=0，
令g（a）=e^a-a，当a＞2时，g′（a）=e^a-1＞e²-1＞0恒成立，
故函数g（a）=e^a-a在区间（2，+∞）递增，
∴g（a）＞g（2）=e²-2＞0；
即e^a＞a＞2，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{a}}$＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{2}{a}$＜1，
而f（$\frac{1}{{e}^{a}}$）=a（$\frac{1}{{e}^{a}}$-1）-2ln$\frac{1}{{e}^{a}}$=$\frac{a}{{e}^{a}}$+a＞0，
故当a＞2时，f（$\frac{1}{{e}^{a}}$）•f（$\frac{2}{a}$）＜0，
即?x₀∈（$\frac{1}{{e}^{a}}$，$\frac{2}{a}$），使得f（x₀）=0成立，
∴a＞2时，f（x）在区间（0，1）上有零点，不合题意，
综上，a的范围是{a|a≤2}．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．