Question

5．?ABCD中，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$对应的复数分别是3+2i与1+4i，对角线AC与BD相交于P点，求△APB的面积．

Answer 1

分析 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD，DB对应的复数，先求出向量PA、PB对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB的面积．

解答 解：∵在?ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$对应的复数分别是3+2i与1+4i，
∴（1+4i）-（3+2i）=-2+2i，
即$\overrightarrow{AD}$对应的复数为-2+2i，
$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{AP}$对应的复数为$\frac{1}{2}$+2i，
即$\overrightarrow{PA}$=（$-\frac{1}{2}，-2$），$\overrightarrow{PB}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=（\frac{5}{2}，0）$，
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$-\frac{5}{4}$，|$\overrightarrow{PA}$|=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{5}{2}$，
则cos∠APB=$\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{17}}{2}×\frac{5}{2}}=-\frac{\sqrt{17}}{17}$，
即sin∠APB=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|sin∠APB=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{17}}{2}×\frac{5}{2}$×$\frac{4\sqrt{17}}{17}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查复数的基本运算以及复数几何意义的应用，根据数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．