Question

20．已知a，b为异面直线，A，B∈a，C，D∈b，a∥α，b∥α，AC∩α=E，BD∩α=G，BC∩α=H，求证：EG与FH相互平分．

Answer 1

分析 要证明EG与FH相互平分，只要证明EFGH是平行四边形即可，利用线面平行的性质进行证明即可．

解答 解：∵AC∩AD=A，
∴AC与AD确定平面ACD，
∵C，D∈b，b∥α，
∴CD∥α，面ACD∩α=EF，
∴EF∥CD，
∵BC∩BD=B，
∴BC与BD确定平面BCD，
∵CD∥α，面BCD∩α=GH，
∴GH∥CD，
∴EF∥GH．
∵AC∩BC=C，
∴AC与BC确定平面ACB，
∵AB∥α，面ACB∩α=EH，
∴EH∥AB，
∵BD∩AD=D，
∴BD与AD确定平面ABD，
∵AB∥α，面ABD∩α=GF，
∴GF∥AB，
∴EH∥GF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
即EG与FH相互平分．

点评 本题考查了直线和平面平行的判定和性质，考查了学生的空间想象能力和思维能力，利用线面平行的判定定理和性质定理是解决本题的关键．