Question

8．已知在平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{y≤2}\\{2x-y≤2}\end{array}}\right.$给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}$的最大值为（　　）

• A． -5
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 利用向量的数量积运算，求出z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}$=2x+y-5，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区如图：
∵M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），
∴z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}$=（2，1）•（x-2，y-1）=2（x-2）+y-1=2x+y-5，
由z=2x+y-5得y=-2x+z+5，
平移直线y=-2x+z+5，则由图象可知当直线经过点B（2，2）时，
直线y=-2x+z+5的截距最大，此时z最大．
为z=2×2+2-5=1，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．