Question

20．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）+f′（x）tanx＜0成立，则下列结论一定正确的是（　　）

• A． $\sqrt{2}sin1f（1）＞f（\frac{π}{4}）$
• B． $f（\frac{π}{6}）＞\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$
• C． $\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）＞f（\frac{π}{6}）$
• D． $\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）＞\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$

Answer 1

分析 把条件f（x）+f′（x）tanx＜0化简得出[sinxf（x）]′＜0，得出y=sinxf（x）是减函数，利用单调性判断即可．

解答 解：f（x）+f′（x）tanx＜0，
cosxf（x）+sinxf′（x）＜0，
[sinxf（x）]′＜0，
y=sinxf（x）是减函数，
sin$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜sin$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$），
$\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$＜f（$\frac{π}{6}$）．
故选：B．

点评 本题综合考查了导数的运用，结合单调性判断大小，关键是根据题意得出构造的函数，才能够利用导数解决，属于难题．