Question

10．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c=3bcosC+3ccosB．
（Ⅰ）求$\frac{sinC}{sinA}$的值；
（Ⅱ）若cosB=-$\frac{1}{3}$，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出$\frac{sinC}{sinA}$的值即可；
（Ⅱ）第一问的结果利用正弦定理化简，得出a与c的关系，利用余弦定理列出关系式，把cosB，b，a与c的关系式代入求出a的值，进而求出c的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（Ⅰ）由c=3bcosC+3ccosB，利用正弦定理化简得：sinC=3sinBcosC+3sinCcosB=3sin（B+C），
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinC=3sinA，
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，
则$\frac{sinC}{sinA}$=3；
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{c}{a}$=3，即c=3a，
∵b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即12=9a²+a²+2a²，
解得：a=1，
∴c=3a=3，
∵cosB=-$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×1×3×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．