Question

2．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，M，N分别是棱AA₁，AB上的点，且AM=AN=1．
（1）证明：M，N，C，D₁四点共面；
（2）平面MNCD₁将此正方体分为两部分，求这两部分的体积
之比．

Answer 1

分析 （1）连接A₁B，由正方体可得四边形A₁BCD₁是平行四边形．得到A₁B∥D₁C．在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3，可得MN∥A₁B．MN∥D₁C．即可证明．
（2）由平面MNCD₁四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V₁，上部分体积为V₂，AMN-DCD₁为三棱台．利用体积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：连接A₁B，
在四边形A₁BCD₁中，${A}_{1}{D}_{1}\underset{∥}{=}BC$，
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形．
∴A₁B∥D₁C．
在△ABA₁中，AM=AN=1，AA₁=AB=3，
∴$\frac{AM}{A{A}_{1}}=\frac{AN}{AB}$，
∴MN∥A₁B．
∴MN∥D₁C．
∴M，N，C，D₁四点共面；
（2）由平面MNCD₁四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V₁，上部分体积为V₂，
AMN-DCD₁为三棱台．
∵S_△AMN=$\frac{1}{2}AM•AN$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$=S₁，
${S}_{△DC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}D{C}^{2}$=$\frac{1}{2}×{3}^{2}=\frac{9}{2}$=S₂．
∴V₁=$\frac{1}{3}AD•（{S}_{1}+\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}+{S}_{2}）$=$\frac{1}{3}×3×（\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}×\frac{9}{2}}+\frac{9}{2}）$=$\frac{13}{2}$，
${V}_{2}={V}_{正方体A{C}_{1}}$-V₁=${3}^{3}-\frac{13}{2}$=$\frac{41}{2}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{13}{41}$．

点评 本题考查了线面平行的判定定理、正方体的性质、三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题．