Question

12．函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a仅一个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． $（0，\frac{1}{6}）$
• B． $（-\frac{1}{6}，0）$
• C． $（-∞，0）∪（\frac{1}{6}，+∞）$
• D． $（-∞，\frac{1}{6}）∪（0，+∞）$

Answer 1

分析 求出函数的极值，利用函数有一个零点，求解即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a，
则f′（x）=x²-x，令x²-x=0，可得x=1或x=0，
x∈（-∞，0），函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a是增函数，x∈（0，1）时函数是减函数，x∈（1，+∞）是增函数．
f（0）是极大值，f（1）是极小值，
函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$+a仅一个零点，
则f（0）＜0或f（1）＞0，
可得a＜0，或$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+a＞0$即a＞$\frac{1}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值与函数的零点的关系，考查分析问题解决问题的能力．