Question

4．四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求证CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥P-ACE体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长DC、AB交于N，连接PN，证明EC∥PN，利用线面平行的判定定理证明CE∥平面PAB；
（Ⅱ）证明CD⊥平面PAC，求出E到平面PAC距离，即可求三棱锥P-ACE体积．

解答 （Ⅰ）证明：延长DC、AB交于N，连接PN
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND中点．
∵E为PD中点，∴EC∥PN．
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB…（6分）
（2）解：$AC=2AB=2，AD=2AC=4，CD=2\sqrt{3}$
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥AC，CA∩PA=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E为PD中点，∴E到平面PAC距离为$\frac{1}{2}CD=\sqrt{3}$，
∵${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{2}{3}\sqrt{3}$    …（12分）

点评 本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，考查三棱锥P-ACE体积，正确运用线面平行的判定定理是解题的关键．