Question

16．若f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的实数x≥0，总有正常数T，使得f（x+T）=f（x）+T成立，则称f（x）具有“性质p”，已知函数g（x）具有“性质p”，且在[0，T]上，g（x）=x²；若当x∈[-T，4T]时，函数y=g（x）-kx恰有8个零点，则实数k=4$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 由题意可得g（T）=g（0）+T，从而求出T，再作函数y=g（x）与y=kx在[-1，4]上的图象，由数形结合求解即可．

解答 解：∵g（T）=g（0）+T，
∴T²=0+T，
解得，T=1或T=0（舍去）；
故作函数y=g（x）与y=kx在[-1，4]上的图象如下，

结合图象可知，
当直线y=kx与y=g（x）在最后一段上相切时，有8个交点，
即函数y=g（x）-kx恰有8个零点；
此时设切点为（x₁，g（x₁）），则
$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=g′（x₁），
即$\frac{（{x}_{1}-3）^{2}+3}{{x}_{1}}$=2（x₁-3），
解得，x₁=2$\sqrt{3}$，
故k=2（2$\sqrt{3}$-3）=4$\sqrt{3}$-6．
故答案为：4$\sqrt{3}$-6．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用，属于中档题．