Question

6．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：
①f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4；
③任意x₁，x₂∈（$\frac{π}{2}$，π），且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．
其中所有正确结论的序号是①②．

Answer 1

分析 当0≤x≤arctan2时，f（x）=$\frac{1}{2}tanx$；当arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{2}{tanx}$；当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2；当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4-$\frac{1}{2}×1×tan（π-x）$=4+$\frac{1}{2}tanx$．即可判断出．

解答 解：当0≤x≤arctan2时，f（x）=$\frac{1}{2}×1×tanx$=$\frac{1}{2}tanx$；
当arctan2＜x＜$\frac{π}{2}$，在△OBE中，f（x）=S_矩形OABM-S_△OME=2-$\frac{1}{2}EM•OM$=2-$\frac{2}{tanx}$；
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2；
当$\frac{π}{2}$＜x≤π-arctan2时，同理可得f（x）=2-$\frac{2}{tanx}$．
当π-arctan2＜x≤π时，f（x）=4-$\frac{1}{2}×1×tan（π-x）$=4+$\frac{1}{2}tanx$．于是可得：
①$f（\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}tan\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，正确；
②对任意x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（$\frac{π}{2}$-x）+f（$\frac{π}{2}$+x）=4
用换元法，以x代替$\frac{π}{2}$-x，可得：
f（x）+f（π-x）=4，
因此，故②正确；
③不妨设x₁＜x₂，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0?f（x₁）＞f（x₂），显然不正确．
综上只有：①②正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．