Question

11．已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+2，g（x）=alnx，a、m∈R．
（1）若m＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解根据导函数的不等式，从而求出函数的递减区间；
（2）问题转化为alnx+x²-（a+2）x≥0在[1，e]恒成立，令G（x）=alnx+x²-（a+2）x，通过讨论G（x）的单调性，从而求出g（x）的最小值，进而求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2mx-m²，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$m＜x＜-m，
∴函数f（x）在（$\frac{1}{3}$m，-m）递减；
（2）对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，
等价于alnx+x²-（a+2）x≥0在[1，e]恒成立，
令G（x）=alnx+x²-（a+2）x，
则G′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-（a+2）=$\frac{（2x-a）（x-1）}{x}$，
①若a≤2，则2x-a＞0，x-1≥0，
∴G′（x）≥0，
∴G（x）在[1，e]单调递增，
∴G（x）_min=G（1）=aln1+1-（a+2）≥0，
解得：a≤-1；
②若2＜a≤2e，
令G′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{2}$，
令G′（x）＜0，解得：x＜$\frac{a}{2}$，
∴G（x）在[1，$\frac{a}{2}$）递减，在（$\frac{a}{2}$，e]递增，
∴G（a）_min=G（$\frac{a}{2}$）=a（lna-ln2）+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{a}^{2}}{2}$-a≥0，
解得：-2＜a＜0，不合题意，舍，
③若a＞2e，
则G′（x）在[1，e]单调递减，
∴G（x）_min=G（e）=a+e²-（a+2）e≥0，
解得：a≤$\frac{2e{-e}^{2}}{1-e}$＜0，不合题意，舍，
综上：a≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，本题有一定的难度．