Question

6．如图，在三棱柱ABM-DCN中，侧面ADNM⊥侧面ABCD，且侧面ABCD是菱形，
∠DAB=60°，AD=2，侧面ADNM是矩形，AM=1，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）求平面AMN与平面BMC所成二面角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接NB交MC与点G，通过中位线定理及线面平行的判定定理即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系如图，则所求二面角的余弦值即为平面AMN的一个法向量与平面BMC的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图连接NB交MC于点G，则EG是△ABN的一条中位线，故EG∥AN；
∵EG?平面MEC，∴AN∥平面MEC；
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，其中F为BC中点；
则N（0，0，1），M（2，0，1），A（2，0，0），E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
B（1，$\sqrt{3}$，0），F（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
所以，平面AMN的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{DF}$=（0，$\sqrt{3}$，0），
设平面BMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则可列方程为：$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MB}=0$且$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0$，
即$-x+\sqrt{3}y-z=0$且-x=0，所以$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设平面AMN与平面BMC所成二面角的平面角为θ，
则|cosθ|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，故$θ=\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．