Question

16．如图，点C是以AB为直径的圆O上不与A、B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．
（Ⅰ）求证：OM⊥BC；
（Ⅱ）当四面体S-ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为α，二面角B-SA-C的大小为β，分别求tanα，tanβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过C是以AB为直径的圆上一点可知SC⊥BC，利用线面垂直的判定定理及中位线定理可得结论；
（Ⅱ）通过题意易得当且仅当$AC=BC=\sqrt{2}$时四面体S-ABC的体积取得最大值，可以利用两种方法来计算，一种是常规方法，另一种是建立空间坐标系，通过向量来解决问题．

解答 （Ⅰ）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC，
又SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
∵SC∩AC=C，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，
∵O、M分别为AB、SB的中点，∴OM平行于SA，
∴OM⊥BC；
（Ⅱ）解：四面体S-ABC的体积$V=\frac{1}{3}SC•{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}AC•BC≤\frac{1}{6}（A{C^2}+B{C^2}）=\frac{2}{3}$，
当且仅当$AC=BC=\sqrt{2}$时取得最大值，
方法一：
取BC的中点N，连接MN、AN，
则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，
∴α=∠MAN，$tanα=\frac{MN}{AN}=\frac{1}{{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
作CH⊥SA垂足为H，连接BH，由（Ⅰ）知BC⊥SA，
∴SA⊥平面BCH，BH⊥SA，故β=∠BHC，
在Rt△SAC中，$CH=\frac{AC•SC}{SA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，$tanβ=\frac{BC}{CH}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$；
方法二：
以$\overrightarrow{CA}、\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CS}$分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，
则C（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），S（0，0，2），
进而M（0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1），$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{CS}=（0，0，2）$是平面ABC的一个法向量，
故$sinα=|cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{CS}＞|=\frac{{\sqrt{14}}}{7}$，$cosα=\frac{{\sqrt{35}}}{7}，tanα=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
设$\overrightarrow{v}$=（x，y，z）是平面SAB的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{v}•\overrightarrow{AS}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0\\-\sqrt{2}x+2z=0\end{array}\right.$，
故可取$\overrightarrow{v}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，1）$，
由（1）知，$\overrightarrow{CB}=（0，\sqrt{2}，0）$是平面SAC的一个法向量，
故$cosβ=|cos＜\overrightarrow v，\overrightarrow{CB}＞|=\frac{{\sqrt{10}}}{5}，sinβ=\frac{{\sqrt{15}}}{5}，tanβ=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查二面角，空间中线面间的位置关系，中位线定理，数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．