Question

3．已知函数f（x）=x³+3|x-a|（a＞0），若f（x）在[-1，1]上的最小值记为g（a），求g（a）．

Answer 1

分析 分类讨论a的范围，0＜a＜1，a≥1，利用导数确定函数的单调性，即可求g（a）．

解答 解：∵a＞0，-1≤x≤1，
①当0＜a＜1时，
若x∈[-1，a]，则f（x）=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，
故此时函数在（-1，a）上是减函数，
若x∈（a，1]，则f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，
故此时函数在（a，1）上是增函数，
∴g（a）=f（a）=a³．
②当a≥1，f（x）=x³+3|x-a|=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，
故此时函数在[-1，1]上是减函数，
则g（a）=f（1）=-2+3a．
综上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}，0＜a＜1}\\{3a-2，a≥1}\end{array}\right.$．

点评 本题利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键．