Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）$，g（x）=$\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）$．
（1）求函数h（x）=f（x）+2g（x）的零点；
（2）若直线l：ax+by+c=0（a，b，c为常数）与f（x）的图象交于不同的两点A、B，与g（x）的图象交于不同的两点C、D，求证：|AC|=|BD|；
（3）求函数F（x）=[f（x）]²ⁿ-[g（x）]²ⁿ（n∈N^*）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出H（x）的解析式，令H（x）=0，解方程即可得到零点；
（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线方程和f（x）、g（x）消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，即可得证；
（3）运用二项式定理展开和合并，再由基本不等式结合二项式系数的性质，即可求得最小值为1．

解答 解：（1）由题意可得$h（x）=\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}=0⇒x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
即有函数h（x）的零点为$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x+\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx+b=0$，则${x_1}+{x_2}=-\frac{2c}{2a+b}$，
同理由$\left\{{\begin{array}{l}{ax+by+c=0}\\{y=\frac{1}{2}（{x-\frac{1}{x}}）}\end{array}}\right.⇒（{2a+b}）{x^2}+2cx-b=0$，则${x_3}+{x_4}=-\frac{2c}{2a+b}$，
则AB中点与CD中点重合，即|AC|=|BD|；
（3）由题意可得$F（x）=\frac{1}{{{2^{2n}}}}[{{{（{x+\frac{1}{x}}）}^{2n}}-{{（{x-\frac{1}{x}}）}^{2n}}}]$
=$\frac{1}{{{2^{2n}}}}（{2C_{2n}^1{x^{2n-2}}+2C_{2n}^3{x^{2n-6}}+…+2C_{2n}^{2n-3}{x^{6-2n}}+2C_{2n}^{2n-1}{x^{2-2n}}}）$
=$\frac{1}{{2}^{2n}}$[${C}_{2n}^{1}$（x^2n-2+x^2-2n）+${C}_{2n}^{3}$（x^2n-6+x^6-2n）+…+${C}_{2n}^{2n-3}$（x^6-2n+x^2n-6）+${C}_{2n}^{2n-1}$（x^2-2n+x^2n-2）]
$≥\frac{1}{{{2^{2n}}}}（{2C_{2n}^1+2C_{2n}^3+…+2C_{2n}^{2n-3}+2C_{2n}^{2n-1}}）$=$\frac{1}{{2}^{2n}}$•2•2^2n-1=1，
当且仅当x=±1时，等号成立．
所以函数F（x）的最小值为1．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点和最值的求法，注意运用函数和方程的思想，以及二项式定理和基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．