Question

8．已知函数$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）$（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M$（-\frac{1}{6}，0）$为图象与x轴的交点，$P（\frac{1}{3}，2）$为图象的最高点．
（1）求A、ω的值；
（2）若$f（\frac{α}{π}）=\frac{2}{3}$，$α∈（-\frac{π}{3}，0）$，求$cos（α+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函数的图象确定函数的A和周期．
（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的恒等变换求出结果．

解答 解：（1）由$P（\frac{1}{3}，2）$为图象的最高点知A=2，
又点M$（-\frac{1}{6}，0）$知函数f（x）的最小正周期$T=4（\frac{1}{3}+\frac{1}{6}）=2$，
∵$T=\frac{2π}{ω}$∴ω=π，
（2）由（1）知，$f（x）=2sin（πx+\frac{π}{6}）$
由$f（\frac{α}{π}）=\frac{2}{3}$得$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
∵$α∈（-\frac{π}{3}，0）$
∴$-\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}$
∴$cos（α+\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（α+\frac{π}{6}）}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∵$cos（α+\frac{π}{3}）=cos（α+\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$
=$cos（α+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（α+\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$
∴$cos（α+\frac{π}{3}）$
=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{{2\sqrt{6}-1}}{6}$

点评 本题考查的知识要点：利用函数的图象求函数的解析式，及函数的周期，利用函数的关系变换求函数的值，主要考查学生的应用能力．