Question

如图，AB为半圆的直径，P为半圆上一点，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=

4

5

，建立适当的坐标系．
（1）求A、B为焦点且过P点的椭圆的标准方程．
（2）动圆M过点A，且与以B为圆心，以2

5

为半径的圆相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

（1）以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵AB为半圆的直径，P为半圆上一点，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα=10×

4

5

=8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴椭圆的标准方程为：

x2

49

+

y2

24

=1．
（2）由题意可得：|MB|-|MA|=2

5

＜10=|AB|，
故动圆圆心M的轨迹在双曲线的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=2

5

，∴c^′=5，a^′=

5

，(b′)2=52-(

5

)2=20．
其方程为

x2

5

-

y2

20

=1(x≤-

5

)．