Question

设函数f（x）=x³-ax+b的图象为曲线C
（Ⅰ）若函数f（x）不是R上的单调函数，求实数a的范围．
（Ⅱ）若过曲线C外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有两条，
（1）求a，b的关系式．
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞x₀•e x0+a成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的单调性与导数的关系,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3x²-a，由题意f′（x）=3x²-a=0有两解，由此能求出实数a的范围．
（Ⅱ）（1）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y-y₀=（3x₀-a）（x-x₀），由此利用导数性质结合已知条件推导出a=b．
（2）?x₀＞0，x03-ax0+b＞x0•ex0+a，由已知得a＜（x²-e^x）_max，又（x²-e^x）_max不存在，但其上确界是f（0）=-1，由此能求出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax+b，
∴f′（x）=3x²-a，
由题意f′（x）=3x²-a=0有两解，
∴a＞0．
（Ⅱ）（1）设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y-y₀=（3x₀-a）（x-x₀），
切线过（1，0），故-y₀=（3x₀-a）（1-x₀），①，
又y0=x03-ax₀+b，②，
由①②消去y₀，得2x03-3x02=b-a，
令g（x）=2x³-3x²，由g′（x）=6x²-6x，知极值点在0，1，极值为0，-1
故b=a，或b-a=-1，
但A点不在C上，故f（1）≠0，∴1-a+b≠0，
综上：a=b．
（2）?x₀＞0，x03-ax0+b＞x0•ex0+a，
a＜x02-ex0，a＜（x²-e^x）_max，
（x²-e^x）′=2x-e^x＜0，∴x²-e^x是递减的，∴（x²-e^x）_max不存在，
但其上确界是f（0）=-1，
故所求的a的范围为：a＜-1．

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．