Question

设A={a₁，a₂，a₃}是由三个不同元素组成的集合，且T是A的子集组成的集合，满足性质：空集和A属于T，并且T中任何两个元素的交集和并集还属于T，则所有可能的T的个数为（　　）

• A、29
• B、33
• C、43
• D、59

Answer 1

考点：子集与真子集,集合中元素个数的最值

专题：集合

分析：根据已知中A={a₁，a₂，a₃}是由三个不同元素组成的集合，且T是A的子集组成的集合，满足性质：空集和A属于T，并且T中任何两个元素的交集和并集还属于T，列举出所有满足条件的情况，可得答案．

解答： 解：∵A={a₁，a₂，a₃}，故A的子集有8个，除空集和A外，有三个单元集，三个两元集；
由空集和A属于T，可知T中最少有两个元素，
又∵T中任何两个元素的交集和并集还属于T，故：
（1）T中有两个元素时，T={∅，{a₁，a₂，a₃}}满足要求；
（2）T中有三个元素时，均满足要求，共有

C

1 6

=6种情况，
（3）①T中有四个元素时，其中除空集和A外的其它两个元素为单元集，
　　　　如T={∅，{a₁}，{a₂}，{a₁，a₂，a₃}}时，{a₁}∪{a₂}∉T，不满足要求，
　　　②T中有四个元素时，其中除空集和A外的其它两个元素为两元集，
　　　　如T={∅，{a₁，a₃}，{a₂，a₃}，{a₁，a₂，a₃}}时{a₁，a₃}∩{a₂，a₃}={a₃}∉T，不满足要求，
　　　③T中有四个元素时，其中除空集和A外的其它两个元素分别为单元集和两元集时，满足要求，共有

C

1 3

•

C

1 3

=9种情况，
（4）①T中有五个元素时，其中除空集和A外的其它三个元素为单元集，不满足要求，
　　　②T中有五个元素时，其中除空集和A外的其它三个元素为两元集，不满足要求，
　　　③T中有五个元素时，其中除空集和A外的其它三个元素有两个单元集和它们的并集，满足要求，共有

C

2 3

=3种情况，
　　　④T中有五个元素时，其中除空集和A外的其它三个元素有两个两元集和它们的交集，满足要求，共有

C

2 3

=3种情况，
（5）T中有六个元素时，其中除空集和A外的其它三个元素有两个单元集和它们的并集和另外一个二元集，满足要求，共有

C

2 3

C

1 2

=6种情况，
（6）T中有七个元素时，均不满足要求；
（7）T中有八个元素时，满足要求；
综上满足条件的T有：1+6+9+3+3+6+1=29种情况，
故选：A

点评：本题考查的知识点是子集与真子集，集合中元素个数问题，分类讨论和列举是解答此类问题的方法，分类时要注意不重不漏．