Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），对任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立；
（1）求2a-b的值；
（2）若a=1，f（0）=2，f（x）在区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值为2，求t的值；
（3）若函数f（x）取得最小值0，且对任意x∈R，不等式x≤f（x）≤（

x+1

2

）²恒成立，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）对任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，可得ax²+（b-8a）x+16a-4b=ax²-（b+4a）x+4a+2b，即可求2a-b的值；
（2）分类讨论，利用f（x）在区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值为2，求t的值；
（3）确定f（x）=ax²+2ax+a．对任意x∈R，不等式x≤f(x)≤(

x+1

2

)2恒成立，可得x=1时，有1≤f(1)≤(

1+1

2

)2，即1≤f（1）≤1，即可求函数f（x）的解析式．

解答： 解：（1）由对任意的x∈R，都有f（x-4）=f（2-x）成立，
有a（x-4）²+b（x-4）+c=a（2-x）²+b（2-x）+c
整理即得：ax²+（b-8a）x+16a-4b=ax²-（b+4a）x+4a+2b，
∵上式对于任意x∈R都成立，
∴有

b-8a=-(b+4a) 16a-4b=4a+2b

，可得2a=b，
∴2a-b=0…（4分）
（2）由（1）知：2a=b，又a=1，f（0）=2，可求得f（x）=x²+2x+2
二次函数f（x）的对称轴为：x=-1；
当t+1≤-1时，则t≤-2，
此时函数f（x）在x∈[t，t+1]上为减函数，f(x)min=f(t+1)=t2+4t+5=2，解得t=-1或-3
又由t≤-2，可得t=-3
当t＜-1＜t+1时，则-2＜t＜-1，
此时，f（x）_min=f（-1）=1≠2，故不符合题意；
当t≥-1时，
此时函数f（x）在x∈[t，t+1]上为增函数，f(x)min=f(t)=t2+2t+2=2，解得t=0或-2
又由t≥-1，可得t=0
综上：t=0或-3…（9分）
（3）由（1），可设f（x）=ax²+2a+c．
∵函数f（x）取得最小值0，∴f(x)min=

4ac-(2a)2

4a

=0，即得：c=a，
∴f（x）=ax²+2ax+a
∵对任意x∈R，不等式x≤f(x)≤(

x+1

2

)2恒成立，
∴x=1时，有1≤f(1)≤(

1+1

2

)2，即1≤f（1）≤1，
∴f（1）=1，∴f（1）=a•1²+2a+a=4a=1，解得a=

1

4

此时f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

经检验：对任意x∈R，不等式x≤

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

≤(

x+1

2

)2恒成立
∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

…（13分）

点评：本题考查函数的对称性，考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．