Question

已知奇函数f（x）=ax+

b

x

+c的图象经过点A（1，1），B（2，-1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）若|t-1|≤f（x）+2对x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数f（x）=ax+

b

x

+c的图象经过点A（1，1），B（2，-1）构造关于a，b，c的方程，解方程可得函数f（x）的解析式；
（2）求出函数的导函数，进而根据导数符号与函数单调性的关系，可证得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）若|t-1|≤f（x）+2对x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，则|t-1|≤1，解绝对值不等式可得实数t的范围．

解答： 解：（1）∵奇函数f（x）=ax+

b

x

+c的图象经过点A（1，1），B（2，-1）．
∴函数f（x）=ax+

b

x

+c的图象经过点（-1，-1），
即

a+b+c=1 -a-b+c=-1 2a+ 1 2 b+c=-1

，
解得：

a=-1 b=2 c=0

故f（x）=-x+

2

x

证明：（2）∵f′（x）=-1-

2

x2

，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
解：（3）当x∈[-2，-1]∪[1，2]时，f（x）∈[-1，1]，
则f（x）+2∈[1，3]，
若|t-1|≤f（x）+2对x∈[-2，-1]∪[1，2]恒成立，
则|t-1|≤1，
则t∈[0，2]

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求解，函数恒成立问题，函数单调性的证明，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．