Question

已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足条件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②f（2）=1；③当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）为偶函数；
（2）讨论函数的单调性；
（3）求不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）法一：令x=y=1，可得f（1）=0．令x=y=-1，可得f（-1）=0．令y=-1，有f（-x）=f（x）+f（-1），即可证明．
法二：由已知可得：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），即可证明．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，可得f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，利用

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＞0．即可证明．
（3）由已知可得：f（2×2）=f（2）+f（2）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2=f（4），化为f（x（x-3）≤f（4），由于f（x）是偶函数，可得f（|x（x-3）|）≤f（4），再利用单调性即可得出．

解答： （1）证明：法一：令x=y=1，有f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=y=-1，有f（1）=f（-1）+f（-1），∴f（-1）=0．
令y=-1，有f（-x）=f（x）+f（-1），
∴f（x）=f（-x）且定义域关于原式对称，
∴f（x）是偶函数                                 
法二：f（x²）=f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x）
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∴f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，
∵

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）＞0．
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，
∴f（-x）在（-∞，0）上单调递减．
（3）解：∵f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2=f（4），
∴f（x（x-3）≤f（4），∵f（x）是偶函数，
∴f（|x（x-3）|）≤f（4），∴

x≠0 x-3≠0 |x(x-4)|≤4

，解得-1≤x≤4且x≠0，3．
∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性，考查了构造法和适当取值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．