试题分析:(1)
,由
经检验符合题意 (3分)
(2)依题意知,不等式
在
恒成立.令
,
当k≤0时,取x=1,有
,故k≤0不合.(4分)
当k>0时, g′(x)=
-2kx=
.
令g′(x)=0,得x
1=0,x
2=
>-1. (5分)
①当k≥
时,
≤0,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,因此g(x)在[0,+∞)上单调递减,从而对任意的x∈[0,+∞),总有g(x)≤g(0)=0,故k≥
符合题意,6分②当0<k<
时,
>0, 对于x∈
,g′(x)>0,
故g(x)在
内单调递增,因此当取x
0∈
时,g(x
0)>g(0)=0,不合.
综上,
. (8分)
(3)证明:当n=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.(9分)
当n≥2时,在(2)中取k=
,得
(10分)
取
代入上式得:
(12分)
≤2-ln3+
-ln(2n+1)≤2-ln3+1-
<2.
综上,
,
(14分)
点评:难题,本题属于导数应用中的常见问题,(2)是恒成立问题,注意通过构造函数,研究函数的最值达到解题目的。(3)利用数学归纳法。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。