Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F，H分别为棱CC₁，AA₁的中点，O为AC与BD的交点．
（1）平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）A₁O⊥平面BDF；
（3）平面A₁BD⊥平面BDF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取DD₁的中点M，连结AM；从而证明HD₁∥平面BDF，再证明B₁H∥平面BDF，从而证明平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）连结OF，A₁F，设正方体的棱长为a；则由勾股定理可证A₁O⊥OF，再由BD⊥A₁O可证A₁O⊥平面BDF；
（3）由A₁O⊥平面BDF，A₁O?平面A₁BD可证平面A₁BD⊥平面BDF．

解答： 证明：（1）取DD₁的中点M，连结AM；
∵MF∥AB，MF=AB，
∴四边形ABFM是平行四边形，
∴AM∥BF，
又∵HD₁∥AM，
∴HD₁∥BF，
∴HD₁∥平面BDF，
同理可证，B₁H∥平面BDF，
又∵B₁H∩HD₁=H，
∴平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）连结OF，A₁F，设正方体的棱长为a；
则A₁O²=a²+

1

2

a²=

3

2

a²，OF²=

1

4

a²+

1

2

a²=

3

4

a²；
A₁F²=2a²+

1

4

a²=

9

4

a²，
故A₁O⊥OF，
又∵BD⊥平面A₁C₁CA，A₁O?平面A₁C₁CA，
∴BD⊥A₁O，OF?平面BDF，BD?平面BDF
∴A₁O⊥平面BDF；
（3）∵A₁O⊥平面BDF，A₁O?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面BDF．

点评：本题考查了面面平行的证明及线面、面面垂直的证明，注意作辅助线，属于中档题．