Question

【题目】已知函数．

（1）当 ，求函数的极小值；

（2）已知函数在处取得极值，求证：；

（3）求函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；

【解析】

(1)当令 ，解得．即可得出函数的单调性极值点．

(2)，函数 在处取得极值，可得 ，解得：或时，不满足条件，舍去，因此，即可证明．

（3） 时，; 时，;

①，解得： ，此时有两个不相等的实数根．即函数 有两个极值点．设．对与与0的大小关系即可得出函数零点的个数．②，解得：或，此时，函数在上单调递增，即可得出函数在上零点的个数．

（1）当 ，.

,

令，解得，或，

可得：函数在 上单调递增，在上单调递减，

∴时函数取得极小值， 。

（2） ，

∵函数在取得极值，

∴ ，

（3） ，

，

时，; 时，;

①，解得：或 ，此时有两个不相等的实数根．即函数有两个极值点．设．

时，可得：函数在上只有一个零点。

时，可得：函数在上有两个零点。

时，可得：函数在上有三个零点。

时，可得：函数在上有两个零点。

时，可得：函数在上只有一个零点。

② ，解得： ，此时 ，函数 在 上单调递增，时，; 时，;可得：函数在上只有一个零点。