Question

【题目】有一个墙角，两墙面所成二面角的大小为有一块长为米，宽为米的矩形木板．用该木板档在墙角处，木板边紧贴墙面和地面，和墙角、地面围成一个直角三棱柱储物仓．

（1）当为多少米时，储物仓底面三角形面积最大？

（2）当为多少米时，储物仓的容积最大？

（3）求储物仓侧面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设 ，讨论和两种情况，利用利用基本不等式得出底面三角形的面积的最大值；
（2）设 ，讨论和两种情况，利用利用基本不等式得出三棱柱的体积的最大值；
（3）设 ，讨论和两种情况，利用利用基本不等式得三棱柱的侧面积的最大值．

解：如图所示：

（1）设 ，
①若，则 ，
∴ ，当且仅当时取等号．
∴ ，

②若，同理可得，当且仅当时取等号．

又，故当，时，储物仓底面三角形ABC的面积最大，
此时，为等腰三角形， 。

（2）设 ，

①若，由（1）①可知储物仓的容积,

②若，由（1）②可知储物仓的容积,

又 ，

，

由（1）可知当时，储物仓的容积最大．

（3）设 ，

①若，则由余弦定理可得 ，

，即 ，

又 ，

解得： ，当且仅当时取等号．

∴储物仓的侧面积为 ，

②若，同理可得储物仓的侧面积为 ，

综上，储物仓的侧面积的最大值为。