Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意知：取得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）由（1）知当和时，不合题意； 当时，要使得要使有两个零点，必有，构造新函数，利用导数求得函数函数的单调性和最值，即可得到结论.

解：（1）由题意知：

若，即时，在上单减，在单增

若，即时，

当时，在单增；

当时，在上单增，在单减，在上单增；

当时，在上单增，在单减，在上单增.

（2）由（1）知当时，在单增，故不可能有两个零点.

当时，只有一个零点，不合题意.

当时，在上单减，在单增，且时，；时，.

故只要，解得：.

当时，在上单增，在单减，在上单增.

因为故也不可能有两个零点.

当时，在上单增，在单减，在上单增

且，故要使有两个零点，必有

由

即当时，有

因为

即在上单增，且时，

.

故当时，不可能有两个零点.

综上所述：当时，有两个零点.