Question

【题目】已知椭圆（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆的左焦点，直线，为椭圆上任意一点，证明：点到的距离是点到距离的倍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中的关系,即可求得的值,即可得椭圆方程.

（2）设出点的坐标,根据两点间距离公式,结合椭圆的方程即可证明.

（1）因为椭圆（）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

所以,解方程组可得

所以椭圆的方程为

（2）证明:设,

因为为椭圆的左焦点,直线,椭圆的方程为

所以,即

则点P到直线的距离为

点P到的距离为

因为

所以原式

所以,即点到的距离是点到距离的倍.

得证.