Question

2．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=4，S₄=16，数列{b_n}满足b_n=a_n+a_n+1，则数列{b_n}的前9和T₉=180．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由b_n=a_n+a_n+1，b_n+1=a_n+1+a_n+2，可得b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d为常数，因此数列{b_n}也为等差数列．根据等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₂=4，S₄=16，即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，因为b_n=a_n+a_n+1，所以b_n+1=a_n+1+a_n+2，
两式相减b_n+1-b_n=a_n+1+a_n+2-a_n-a_n+1=2d为常数，
所以数列{b_n}也为等差数列．
因为{a_n}为等差数列，且S₂=4，S₄=16，所以b₁=a₁+a₂=S₂=4，b₃=a₃+a₄=S₄-S₂=12，
所以等差数列{b_n}的公差$2d=\frac{{{b_3}-{b_1}}}{2}=4$，
所以前n项和公式为${T_n}=4n+\frac{{（{n-1}）n}}{2}×4$=2n²+2n，
所以T₉=180．
故答案为：180．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．