Question

12．已知双曲线C的方程记为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），点P（$\sqrt{3}$，0）在双曲线上．离心率为e=2．
（1）求双曲线方程；
（2）设双曲线C的虚轴的上、下端点分别为B₁，B₂（如图）点A、B在双曲线上，且$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=λ$\overrightarrow{{B}_{2}B}$，当$\overrightarrow{{B}_{1}A}$•$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=0时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的性质，即可求得a和b的值，求得双曲线的方程；
（2）将直线代入双曲线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线AB的方程．

解答 解：（1）由已知a=$\sqrt{3}$，e=2，c=2$\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=9，
∴双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由B₁（0，3），B₂（0，-3），$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=λ$\overrightarrow{{B}_{2}B}$，
∴A，B₁，B₂三点共线，设方程为y=kx-3
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得（3-k²）x²+6kx-18=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由k≠±$\sqrt{3}$，
则x₁+x₂=$\frac{6k}{{k}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{18}{{k}^{2}-3}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6=$\frac{18}{{k}^{2}-3}$，
y₁y₂=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=9，由$\overrightarrow{{B}_{1}A}$•$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=0，则x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴k=±$\sqrt{5}$，由△＞0，
∴所求AB直线为：y=±$\sqrt{5}$x-3．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，考查向量坐标运算，考查计算能力，属于中档题．