Question

4．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若函数g（x）=f（a+sinx）+f（2cos²x-3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[$\frac{7}{8}$，2]．

Answer 1

分析 由f（0）=0可知2cos²x+sinx+a-3=0在（0，π）上有解，将问题转化为求h（x）=-2cos²x-sinx+3的值域解决．

解答 解：g（x）=f（a+sinx）+f（2cos²x-3）=f（2cos²x+sinx+a-3），
∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（0）=2f（0），∴f（0）=0，
∵g（x）在（0，π）上有零点，
∴2cos²x+sinx+a-3=0在（0，π）上有解，
即a=-2cos²x-sinx+3在（0，π）上有解，
设h（x）=-2cos²x-sinx+3=2sin²x-sinx+1=2（sinx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，
∴$\frac{7}{8}$≤h（x）≤2．
故答案为[$\frac{7}{8}$，2]．

点评 本题考查了函数存在性问题与函数最值计算，换元法解题思想，属于中档题．