Question

9．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．
（1）用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{DE}$；
（2）设AB=9，AC=6，A=60°，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形法则表示；
（2）计算${\overrightarrow{DE}}^{2}$即可得出|$\overrightarrow{DE}$|．

解答 解：（1）∵AB=3AD，BC=2BE．
∴$\overrightarrow{DB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（2）${\overrightarrow{AB}}^{2}$=81，${\overrightarrow{AC}}^{2}$=36，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=9×6×cos60°=27．
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}$=$\frac{1}{36}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{63}{4}$，
∴DE=|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{\frac{63}{4}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题．