Question

7．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最小值以及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值即可．
（2）x∈[0，2]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．

解答 解：函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）
化简可得：f（x）=4cosωx•sinωx•cos$\frac{π}{4}$+4cos²ωx•sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$sin2ωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx=$\sqrt{2}$sin2ωx+$\sqrt{2}$cos2ωx+$\sqrt{2}$=2sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
∵f（x）的最小正周期为π．即$\frac{2π}{2ω}=π$．
∴ω=1．
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\sqrt{2}$．
∵x∈[0，2]，
∴2x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$4+\frac{π}{4}$]．
结合三角函数的图象和性质，可知：当2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，此时x=$\frac{π}{4}$．f（x）取得最小值为：$-1×2+\sqrt{2}$=$\sqrt{2}-2$．
∴f（x）在区间[0，2]上的最小值$\sqrt{2}-2$，此时x的值为$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．