Question

20．已知函数f（x）=log₃$\frac{1+x}{a-x}$为其定义域内的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式f（x）＞1的解集；
（3）证明：$f（\frac{1}{3}）$为无理数．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质即可求出a的值，
（2）根据对数函数的性质，并注意对数函数的定义域，
（3）利用反证法证明即可．

解答 解（1）因为f（x）为其定义域内奇函数，
所以  f（x）+f（-x）=0，
即  $f（x）+f（-x）={log_3}\frac{1+x}{a-x}+{log_3}\frac{1-x}{a+x}=0$…．…．…..…．（2分）
即  ${log_3}\frac{{1-{x^2}}}{{{a^2}-{x^2}}}=0⇒\frac{{1-{x^2}}}{{{a^2}-{x^2}}}=1$…..…．（4分）
所以 1-x²=a²-x²⇒a=±1…．…（5分）
当a=-1时，对数无意义，故舍去，
所以a=1…6分
（2）$f（x）={log_3}\frac{1+x}{1-x}$的定义域为（-1，1）…（7分）
由f（x）＞1，得${log_3}\frac{1+x}{1-x}＞1={log_3}3$，
∴$\frac{1+x}{1-x}＞3⇒x＞\frac{1}{2}$…．…．（9分）
又因为f（x）的定义域为（-1，1）
所以f（x）＞1得解集为$（\frac{1}{2}，1）$…（10分）
（3）证明：$f（\frac{1}{3}）={log_3}2$（log₃2＞0）…..…．（11分）
假设log₃2为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，
设${log_3}2=\frac{n}{m}$（其中m，n为两个互质的正整数）…．…（13分）
得 ${3^{\frac{n}{m}}}=2$，即3ⁿ=2^m（*），
因为m，n为两个互质的正整数，
所以3^m为奇数，2ⁿ为偶数，显然奇数不等于偶数，
所以（*）式不成立…（15分）
所以假设不成立，
所以$f（\frac{1}{3}）={log_3}2$为无理数…（16分）

点评 本题考查奇函数的性质不等式的解法，和反证法，考查了学生的运算能力，属于中档题．