Question

19．定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则$f（\frac{1}{2016}）$=（　　）

• A． $\frac{1}{32}$
• B． $\frac{1}{64}$
• C． $\frac{1}{128}$
• D． $\frac{1}{2016}$

Answer 1

分析 依题意，可得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，再由当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），可得f（$\frac{1}{{3}^{7}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{3}^{6}}$）=$\frac{1}{{2}^{2}}$f（$\frac{1}{{3}^{5}}$）=…=$\frac{1}{{2}^{7}}$f（1）=$\frac{1}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{128}$，从而可得答案．

解答 ∵定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$，
∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1；
f（$\frac{1}{2}$）+f（1-$\frac{1}{2}$）=1，∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$；
f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1），
∴f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$；
∵$\frac{1}{1458}$＞$\frac{1}{2016}$＞$\frac{1}{2187}$，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（$\frac{1}{1458}$）＜f（$\frac{1}{2016}$）＜f（$\frac{1}{2187}$），
又∵f（$\frac{1}{1458}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{486}$）=$\frac{1}{{2}^{2}}$f（162）=…=$\frac{1}{{2}^{6}}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{128}$．
f（$\frac{1}{{3}^{7}}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{{3}^{6}}$）=$\frac{1}{{2}^{2}}$f（$\frac{1}{{3}^{5}}$）=…=$\frac{1}{{2}^{7}}$f（1）=$\frac{1}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{128}$．
∴f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{{2}^{7}}$=$\frac{1}{128}$．
故选：C．

点评 本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法，考查运算能力，属于难题．