Question

14．已知函数f（x）=x²-cosx，对于$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的任意x₁，x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂；④x₁+x₂＜0；⑤x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是②．

Answer 1

分析 函数f（x）=x²-cosx为偶函数，f′（x）=2x+sinx，从面临是到函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为单调增函数，在[-$\frac{π}{2}$，0]上为减函数．由此能求出结果．

解答 解：函数f（x）=x²-cosx为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤$\frac{π}{2}$时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-$\frac{π}{2}$，0]上为减函数．
当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），
由函数f（x）在上[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]为偶函数得f（x₁）＞f（x₂），故②成立；
∵$\frac{π}{3}$＞-$\frac{π}{3}$，而f（$\frac{π}{3}$）=f（-$\frac{π}{3}$），
∴①不成立，同理可知③和⑤均不成立；
∵取x₁=-$\frac{π}{3}$，x₂=-$\frac{π}{2}$，满足x₁+x₂＜0，但f（x₁）＜f（x₂），故④不成立．
故能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号②．
故答案为：②．

点评 本题考查能使不等式恒成立的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．