Question

6．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，$\sqrt{3}$），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=$\frac{1}{2}$，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆的顶点为（0，$\sqrt{3}$），即b=$\sqrt{3}$，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，a=2，即可求得椭圆C的方程；
（2）由题意可知：当直线斜率不存在时，经检验不合题意，当直线斜率存在时，设存在直线l为y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，代入即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆的顶点为（0，$\sqrt{3}$），即b=$\sqrt{3}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得：a=2，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；--------（4分）
（2）由题可知，直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．--------（5分）
②当直线斜率存在时，设存在直线l为y=k（x-1），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，----------（7分）
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁•y₂=[k（x₁-1）][k（x₂-1）]=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁•x₂+y₁•y₂=x₁•x₂+k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]，
=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+k²（$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+1），
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，即$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2，
解得：k=±$\sqrt{2}$，----------（10分）
故直线l的方程为y=$\sqrt{2}$（x-1）或y=-$\sqrt{2}$（x-1），
即$\sqrt{2}$x-y-$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x+y-$\sqrt{2}$=0．----------（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．