Question

4．如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D-EC-B的余弦值大小；
（3）求三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比．

Answer 1

分析 （1）取SA中点F，连接EF，FD，证明EF∥AB，AB∥CD，推出EF∥CD，FD∥EC，然后证明CE∥面SAD．
（2）以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出面BCE的一个法向量，面DEC的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角D-EC-B平面角的余弦值．
（3）连接AC，BD．通过V_E-ABC=2V_E-BCD，结合V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，推出V_E-ABCD=3V_S-ECD．得到结果．

解答 （1）证明：取SA中点F，连接EF，FD，

∵E是边SB的中点，
∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，即$CD=\frac{1}{2}AB$
∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC为平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD⊆面SAD，CE?面SAD，
∴CE∥面SAD．
（2）解：在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设AB=2，则A（0，0，0）、B（2，0，0）、C（2，2，0）、D（1，2，0），E（1，0，1），
则$\overrightarrow{BC}=（0，2，0）$，$\overrightarrow{BE}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{CD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{CE}=（-1，-2，1）$，
设面BCE的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2y=0\\-x+z=0\end{array}\right.$
令x=1，则z=1，∴$\overrightarrow n=（1，0，1）$．
同理可求面DEC的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，1，2）$w，$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
由图可知，二面角D-EC-B是钝二面角，
所以其平面角的余弦值为$-\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．
（3）解：连接AC，BD．
∵AB∥CD，且AB=2CD，
∴S_△ABC=2S_△BCD，

∴V_E-ABC=2V_E-BCD，
又由S_△ACD=S_△BCD，得V_E-ACD=V_E-BCD，
∴V_E-ABCD=V_E-ACD+V_E-ABC=V_E-BCD+V_E-ABC=3V_E-BCD，
∵E是边SB中点，∴S_△SCE=S_△BCE，
∴V_D-SCE=V_D-BCE，
又V_S-ECD=V_D-SCE，V_E-BCD=V_D-BCE，
∴V_E-ABCD=3V_S-ECD．
即三棱锥S-ECD与四棱锥E-ABCD的体积比为1：3．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．