Question

13．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的体积为$\frac{32π}{3}$，其中BB₁=2，则三棱锥O-ABC的体积的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设AB=a，AD=b，推导出a²+b²=12，ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最大值．

解答 解：设AB=a，AD=b，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的体积为$\frac{32π}{3}$，BB₁=2，
∴外接球O的半径R=2，
∴a²+b²+4=16，
∴a²+b²=12，
∴ab≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$=6，
∵O到平面ABC的距离d=$\frac{1}{2}$BB₁=1，
S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$≤3，
∴三棱锥O-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$≤$\frac{1}{3}×3×1$=1．
∴三棱锥O-ABC的体积的最大值为1．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．