Question

11．已知函数f（x）=$\frac{e^x}{x}$-$\frac{{aln\frac{x}{2}}}{x^2}$+x，曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为$\frac{e^2}{4}$．（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）＞e+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为$\frac{e^2}{4}$，解出即可；
（Ⅱ）令函数$g（x）=\frac{e^x}{x}$，${g^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，设函数$h（x）=\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}-x$，${h^'}（x）=\frac{{8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}}}{x^3}$，令$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$，${φ^'}（x）=-\frac{16}{x}-3{x^2}＜0$，证明$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x\;＞g{（x）_{min}}-h{（x）_{max}}=e+2$．

解答 （Ⅰ）解：因为$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{aln\frac{x}{2}}}{x^2}+x$，
所以${f^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}-\frac{{a-2aln\frac{x}{2}}}{x^3}+1$，…（2分）
则${f^'}（2）=\frac{e^2}{4}-\frac{a}{8}+1=\frac{e^2}{4}$，得a=8．…（4分）
（Ⅱ）证明：$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x$，x∈（0，+∞），
设函数$g（x）=\frac{e^x}{x}$，${g^'}（x）=\frac{{{e^x}（x-1）}}{x^2}$，…（6分）
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
则g（x）≥g（1）=e．…（8分）
设函数$h（x）=\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}-x$，${h^'}（x）=\frac{{8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}}}{x^3}$，
令$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$，${φ^'}（x）=-\frac{16}{x}-3{x^2}＜0$，
则$φ（x）=8-16ln\frac{x}{2}-{x^3}$在x∈（0，+∞）为减函数，…（10分）
又因为φ（2）=0，则当x∈（0，2）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）为增函数，
则当x∈（2，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）为减函数，
所以h（x）≤h（2）=-2，
综上所述，$f（x）=\frac{e^x}{x}-\frac{{8ln\frac{x}{2}}}{x^2}+x\;＞g{（x）_{min}}-h{（x）_{max}}=e+2$．…（12分）

点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数的最值问题，（Ⅱ）问关键是构造函数，转化为求函数的最值解决．