Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3D为AB的中点，AB₁⊥A₁C
（1）求点C₁到平面A₁CD的距离；
（2）求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DC，DA，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C₁到平面A₁CD的距离．
（2）求出平面CDC₁的法向量和平面A₁CD的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，AB₁⊥A₁C，
∴以D为原点，DC，DA，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，2，0），C（$\sqrt{5}$，0，0），设AA₁=t，则A${{\;}_{1}}^{\;}$（0，2，t），B₁（0，-2，t），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，-4，t），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-2，-t），
∵AB₁⊥A₁C，∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=8-t²=0，解得t=2$\sqrt{2}$，
∴C₁（0，0，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（0，2，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{5}$，0，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，0，2$\sqrt{2}$），
设平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2y+2\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{5}x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
∴点C₁到平面A₁CD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{D{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（2）平面CDC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}$，-1），
设二面角A₁-CD-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、点到平面的距离及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．