Question

10．设二项式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展开式中的常数项为a，则$\int_0^{\frac{π}{2}}{cos\frac{ax}{5}dx}$的值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：二项式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-r}（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3r}{2}}$．
令6-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=4．
∴常数项a=${∁}_{6}^{4}$=15，
则$\int_0^{\frac{π}{2}}{cos\frac{ax}{5}dx}$=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cos3xdx=$\frac{1}{3}sin3x{|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．