Question

20．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为2：1．

Answer 1

分析 设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为6-x，圆柱底面半径：R=$\frac{6-x}{2π}$，圆柱的体积V，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．

解答 解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为$\frac{12-2x}{2}$=6-x，
∴圆柱底面半径：R=$\frac{6-x}{2π}$
∴圆柱的体积V=πR²h=π（$\frac{6-x}{2π}$）²x=$\frac{{x}^{3}-12{x}^{2}+36x}{4π}$，
∴V′=$\frac{3{x}^{2}-24x+36}{4π}$=$\frac{3（x-2）（x-6）}{4π}$，
当x＜2或x＞6时，V′＞0，函数单调递增；
当2＜x＜6时，V′＜0，函数单调递减；
当x＞6时，函数无实际意义
∴x=2时体积最大
此时底面周长=6-2=4，
该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1
故答案为：2：1．

点评 本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征，其中将圆柱的体积表示为x的函数，进而转化为函数最值问题，是解答的关键．