Question

19．已知函数f（x）=|cx+a|+|cx-b|，g（x）=|x-2|+c．
（1）当a=1，c=2，b=3时，解方程f（x）-4=0；
（2）当c=1，b=1时，若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1，c=2，b=3时，f（x）=|2x+1|+|2x-3|，分类讨论，即可解方程f（x）-4=0；
（2）当c=1，b=1时，f（x）=|x-1|+|x+a|，g（x）=|x-2|+1，对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}．

解答 解：（1）当a=1，c=2，b=3时，f（x）=|2x+1|+|2x-3|，…（2分）
∴原方程等价于$\left\{\begin{array}{l}x＜-\frac{1}{2}\\-4x+2-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}\\ 4-4=0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ 4x-2-4=0\end{array}\right.$
解得：∅或$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$或∅．
即方程f（x）-4=0的解为$\left\{{\left.x\right|-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$…（5分）
（2）当c=1，b=1时，f（x）=|x-1|+|x+a|，g（x）=|x-2|+1，
∵对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
∴{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，…（6分）
f（x）=|x-1|+|x+a|≥|（x-1）-（x+a）|=|a+1|，
（当且仅当（x-1）（x+1）≤0时等号成立），g（x）=|x-2|+1≥1，所以|a+1|≥1，…（8分）
∴a+1≥1或a+1≤-1，
∴a≥0或a≤-2，∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[0，+∞）．   …（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查集合的包含关系，是一道中档题．