Question

10．已知椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F的坐标为（1，0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段PQ不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，$|PF|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若S_△ABO：S_△BCF=3：5，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，$|PF|=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又c=1，a²=b²+c²，解出即可得出．
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，联立椭圆方程得：（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0，设点P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），根据根与系数的关系$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}=0⇒（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}=0$得：3b²-1+4kb=0，点$C（{\frac{-2kb}{{2{k^2}+1}}，\frac{b}{{2{k^2}+1}}}）$，线段PQ的中垂线AB方程：$y-\frac{-kb}{{2{k^2}+1}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{b}{{2{k^2}+1}}}）$．可得A，B的坐标．$\frac{{{S_{△BCF}}}}{{{S_{△ABO}}}}=\frac{{2{S_{△ABF}}}}{{{S_{△ABO}}}}=2\frac{|AF|}{|AO|}=\frac{{2（1-{x_A}）}}{x_A}=2（{\frac{1}{x_A}-1}）$，进而得出．

解答 解：（Ⅰ） 当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，∴$|PF|=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又c=1，a²=b²+c²，∴$a=\sqrt{2}，b=1$．
椭圆M的标准方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+b，显然k≠0，
联立椭圆方程得：（2k²+1）x²+4kbx+2（b²-1）=0，
设点P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
由韦达定理：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}{x_2}=\frac{{2（{b^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}＞0，（1）\\{x_1}+{x_2}=\frac{-4kb}{{2{k^2}+1}}＞0，（2）\\△=8（2{k^2}-{b^2}+1）＞0，（3）\end{array}\right.$
由$\overrightarrow{PF}•\overrightarrow{QF}=0⇒（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}=0$得：3b²-1+4kb=0     （4）
点$C（{\frac{-2kb}{{2{k^2}+1}}，\frac{b}{{2{k^2}+1}}}）$，
∴线段PQ的中垂线AB方程：$y-\frac{-kb}{{2{k^2}+1}}=-\frac{1}{k}（{x+\frac{b}{{2{k^2}+1}}}）$，
令x=0，y=0可得：$A（{\frac{-kb}{{2{k^2}+1}}，0}），B（{0，\frac{-b}{{2{k^2}+1}}}）$，则A为BC中点，
故$\frac{{{S_{△BCF}}}}{{{S_{△ABO}}}}=\frac{{2{S_{△ABF}}}}{{{S_{△ABO}}}}=2\frac{|AF|}{|AO|}=\frac{{2（1-{x_A}）}}{x_A}=2（{\frac{1}{x_A}-1}）$，
由（4）式得：$k=\frac{{1-3{b^2}}}{4b}$，则${x_A}=\frac{-kb}{{2{k^2}+1}}=\frac{{6{b^4}-2{b^2}}}{{9{b^4}+2{b^2}+1}}$$\frac{{{S_{△BCF}}}}{{{S_{△ABO}}}}=2（{\frac{1}{x_A}-1}）=\frac{{6{b^4}+8{b^2}+2}}{{6{b^4}-2{b^2}}}=\frac{5}{3}$，得：b²=3．
∴b=$\sqrt{3}$，k=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或b=-$\sqrt{3}$，k=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
经检验，满足条件（1）（2）（3），
故直线PQ的方程为：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、垂直平分线的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．