Question

11．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为$p（{p＞\frac{1}{2}}）$，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （1）列出当甲连胜2局或者乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止的概率求出p．（2）得出随机变量的所有可能取值，得出各自的概率从而得出分布列

解答 解：（1）依题意，当甲连胜2局或者乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．∴${p}^{2}+（1-p）^{2}=\frac{5}{9}$．解得p=$\frac{2}{3}\\;\\;\\;或\\;p=\frac{1}{3}∵\\;p＞\frac{1}{2}∴\\;p=\frac{2}{3}$．
（2）依题意知：X的所有可能值为2，4，6
设每两局比赛为1轮，则该轮结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{9}$
若该轮结束时比赛还将继续，则甲乙在该轮中必是各得一分
此时该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响
从而有P（X=2）=$\frac{5}{9}$．
P（X=4）=（1-$\frac{5}{9}$）$\frac{5}{9}$=$\frac{20}{81}$
P（X=6）=1-$\frac{5}{9}$-$\frac{20}{81}$=$\frac{16}{81}$
∴随机变量X的分布列为：则随机变量ξ的分布列为：2

X	2	4	6
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{20}{81}$	$\frac{16}{81}$

则EX=$2×\frac{5}{9}+4×\frac{20}{81}+6×\frac{16}{81}=\frac{266}{81}$

点评 主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求解方法，属于中档题型，在高考中经常反复考查．